pythonで乱数を使って円の面積を求めてみよう（モンテカルロ法）

乱数を用いて面積を求めてみよう
乱数とは
pythonで円の面積を求めてみよう

乱数を用いて面積を求めてみよう

面積を求める際に、いつも細かい短冊に区切って面積を求めていたのですが、今回は乱数を使って、円の面積を求めてみましょう。

乱数とは

例えば[0,1]間の乱数とは、[0,1]間に均等に散らばる数値に集まり、ということになります。pythonで乱数の書き方をみてみましょう。

import random
print(str(random.random()))

【プログラムを見てみよう】

乱数を使う場合は、import random を使います。

random.random()　と書くことで、[0,1]の間にある乱数を１つ発生させます。print()　の中に書くことで、打ち出しています。

0.8188791278107004

が出てきました。

では次に乱数を１０００個発生させて、[0,1]の間に均等に数字が発生しているのか調べてみましょう。

import randoｍ

kazu=[0]*10

#10個の要素を持つ配列を確認
print(str(kazu))

for i in range(0,1000,1):
    a=random.random()
    if a>=0 and a<0.1:
        kazu[0]=kazu[0]+1
    elif a>=0.1 and a<0.2:
        kazu[1]=kazu[1]+1
    elif a>=0.2 and a<0.3:
        kazu[2]=kazu[2]+1
    elif a>=0.3 and a<0.4:
        kazu[3]=kazu[3]+1
    elif a>=0.4 and a<0.5:
        kazu[4]=kazu[4]+1
    elif a>=0.5 and a<0.6:
        kazu[5]=kazu[5]+1
    elif a>=0.6 and a<0.7:
        kazu[6]=kazu[6]+1
    elif a>=0.7 and a<0.8:
        kazu[7]=kazu[7]+1
    elif a>=0.8 and a<0.9:
        kazu[8]=kazu[8]+1
    elif a>=0.9 and a<1:
        kazu[9]=kazu[9]+1

print(str(kazu))

【プログラムを見てみよう】

kazu=[0]*10 で、中身が０で、要素の数が１０個の配列を作ります。これでprintで打ち出してみると、

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

になっています。見方は、

kazu[0]=0
kazu[1]=0
kazu[2]=0
…
kazu[9]=0

ということになります。

if a>=0 and a<0.1:

kazu[0]=kazu[0]+1

は、発生した乱数が、0以上０．1未満のとき、kazu[0]の値を１つプラスします。つまり、数をカウントさせています。なので、ここのif文は、[0,1]の間を０．１間隔で区切って、各間隔ごとに乱数がいくつあるかカウントしています。

結果を見てみましょう。

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[109, 99, 93, 100, 95, 108, 101, 117, 91, 87]

要素を見ていると、大体１００個ぐらい入っています。[0,1]の中で０．１間隔で区切ったときに、大体均等に散らばっていることがわかります。

モンテカルロ法について

では乱数を使って、円の面積を求めてみましょう。正方形の中に乱数をプロットすることを考えてみましょう。

図のように正方形の中に乱数をプロットしていきます。乱数ですので、正方形の中に均等にプロットされていきます。乱数ですので、どこかに偏る、ということはありません。

正方形の中にプロットする際に、円の中にプロットされるポイントの数を数えると、以下が近似的に成立することが予想できます。

正方形の面積：円の面積＝正方形の中のプロット数：円の中のプロット数

半径１の円の式は、x²+y²=1 であることは以前確認しました。円の内部は、x²+y²<1、円の外部はx²+y²>1 が成り立ちます。

例えば、（0.5,0.5）が円の内部が外部かというと、

x²+y²=0.5²+0.5²=0.25+0.25=0.5<1

なので、(0.5,0.5)は円の内部にあります。

pythonで円の面積を求めてみよう

では、半径１の円の面積を求めてみましょう。半径１の円なので、正方形の面積は２×２＝４になります。なので、

正方形の面積：円の面積＝正方形の中のプロット数：円の中のプロット数

なので、

４：円の面積＝正方形の中のプロット数：円の中のプロット数

から

（円の面積）×（正方形の中のプロット数）＝４×（円の中のプロット数）

なので、

円の面積＝４×（円の中のプロット数）/ （正方形の中のプロット数）

になります。以上を踏まえて、pythonでプログラムを組んでみましょう。

import random

total=10000
en=0

for i in range(0,total,1):
    a=random.uniform(-1,1)
    b=random.uniform(-1,1)
    if a*a+b*b<1:
        en=en+1

en_menseki=4.0*en/total
print(str(en_menseki))

【プログラムを見てみよう】

totalで、いくつ点を打つか決めています。

random.uniform(-1,1)　で、(-1,1)の間の乱数を発生させます。a,bの２個発生させて（a,b）という点を正方形の中にプロットしていると想定しています。

この(a,b)が円の内部にあれば、enにカウントしていきます。

最後に　en_menseki　で円の面積を求めています。

結果は