pythonで微分の計算をもう少し見てみよう

微分の定義を確認しよう
f(x)=ｘ３の微分を求めてみよう
f(x)=xn (nは整数) のときのf'(x)は？
さらに学習したい方は

微分の定義を確認しよう

前回のコラムを読んでいただいた方には、もう簡単な内容です。下の図を見てみましょう。ｙ＝ｘ^２のグラフを書いています。

関数は、前回y=x²と書いたのですが、

f(x)=x²

と書くこともあります。”fは変数ｘの関数ですよ”と強調しています。さて、x座標がｘのときのポイントP（x,f(x)）と、ｘ座標がx+hのときのポイントＱ (x+h,f(x+h))をとります。で、例のごとく、Ｐ点での傾き（接線）を求めてみましょう。

まず、２点Ｐ，Ｑを通る線の傾きを求めます。

傾き=yの増加量　/ xの増加量

　　＝{ f(x+h)-f(x) } / { (x+h)-x } = { f(x+h) – f(x) } / h

ｈを０に限りなく近づければ、ＰＱを結ぶ線は、Ｐでの接線に近くなります。ここで前回のリミットを思い足すと、

になります。この傾きを、f'(x)と書いて、f(x)の微分といいます。改めて書けば、

になります。

f(x)=ｘ３の微分を求めてみよう

ｘ＝５で微分した値を、理論とpythonを使った実験から求めてみましょう。

【理論値】

f(x)=x³

から、

f'(x)=lim { (x+h)³-x³ } / h

=lim{ (x³+3x²h+3xh²+h³) – x³} / h

=lim (3x²h+3xh²+h³) / h

=lim ( 3x²+3xh+h² )

=3x²　　（なんとなれば、hは限りなく０に近いので、3xh=h^２=０とみなせる）

なので、x=5を代入すれば、

f'(5)=3×5²=75

になります。

【pythonで実験してみよう】

プログラムを見てみます。

h=1
for i in range(0,5,1):
    atai=( ((5+h)*(5+h)*(5+h)-5*5*5)/(5+h-5) ) 
    h=h*0.1
    print('h='+str(h)+'のとき、f(x)='+str(atai))

atai　に、微分の値が入ります。

for文をくり返すごとに、hの値は0.1倍になっていきます。ここでリミットのような演算を表現しています。

print()で結果を打ち出しています。

print(‘h=‘+str(h)+’のとき、f(x)=‘+str(atai))

青い部分は数値を打ち出します。赤は固定な文字列なので、’　’　でくくります。そしてその間は＋で結びます。これでちょっと見栄えが良くなります。

h=0.1のとき、f(x)=91.0
h=0.010000000000000002のとき、f(x)=76.51000000000009
h=0.0010000000000000002のとき、f(x)=75.15009999999923
h=0.00010000000000000003のとき、f(x)=75.0150010000004
h=1.0000000000000004e-05のとき、f(x)=75.00150001010724

結果は７５に近い値が出ていて、理論値とあっていることが確認できました。

何が出たかというと、x=5での接線の傾きは７５ですよ、ということでした。