曲線の接線を求めてみよう
y=x2のグラフを考えてみましょう。せっかくなので、pythonで確認してみましょう。
import math import matplotlib.pyplot as plt x=[] atai=[] for i in range(-9,10,1): x.append(i) atai.append(i*i) plt.plot(x,atai) plt.show()
ｘ２は、atai.append(i*i)で計算しています。
この線は放物線といいます。物を投げると、引力の関係でこのような形で飛ぶ、ということです。（ものを投げる場合は、このグラフの上下逆さにしたものになります）
次に、放物線の接線を考えてみましょう。接線とは、放物線と接する線になります。
緑の点の接線は、赤線になります。
この接線はどのように求めればいいでしょうか。
x=5での接線を求めてみることにしましょう。もう一つ勝手にx=7.5のところにもポイントをとってみましょう。
緑のポイントのｙ座標は、y=x2を思い出すと、５２と７．５２になります。緑のポイントを線で結ぶと何となく接線のような線が引けます。でも接線とはわずかに違います。
とはいえ、ここで引き下がりません。このx=7.5のところにポイントをとりましたが、ｘ＝５のポイントにどんどん近づけていけば、２点を結ぶ直線は、ｘ＝５での接線にどんどん近くなります。図に書き直しましょう。
x=5と、そこからh離れた点をむすんでみます。ｘ＝５のポイントの座標は（５，５２）、ｘ＝５＋ｈのポイントの座標は（５＋ｈ、（５＋ｈ）２）ですので、この直線の傾き（ｙの増加量/ｘの増加量）を計算してみます。
ｙの増加量/ｘの増加量＝{（５＋ｈ）２ － ５２}/{ (5+h) – 5}
これを計算してみましょう。
ｙの増加量＝（５＋ｈ）２ － ５２ ＝25+10h+h2 – 25 =h2+10h
xの増加量=5+h -5=h
なので、
ｙの増加量/ｘの増加量＝（h2+10h）/ h =h+10
になります。ここで、hを０に近づければ、２つのポイントを結ぶ線は、ｘ＝５での接線に限りなく近くなります。ｙの増加量/ｘの増加量の結果 ｈ＋１０のｈを０に近づければ、接線の傾きは１０に限りなく近づいていきます。
pythonで確認してみよう
ｘ＝５での接線を確認してみましょう。
h=1 for i in range(0,5,1): atai=( ((5+h)*(5+h)-5*5)/(5+h-5) ) h=h*0.1 print(str(atai))
【プログラムの注意点】
hはfor の中で、h=h*0.1 としていますので、forの計算が繰り返すたびに、0.1倍になっていきます。（どんどん間隔が狭くなる。）結果を見てみましょう。
11.0
10.100000000000016
10.009999999999977
10.000999999999252
10.000100000008274
どんどん１０に近づいていきます。
lim を確認しよう
先ほど、hを０に近づける、というお話をしましたが、この作業を表す記号があります。
limはリミットと読みます。この記号の意味は、hを限りなく０に近づける、という意味になります。ピッタリ０にはなりません。ここが、limの意味のポイントです。ですので、先ほどの h+10 のｈを０に限りなく近づける、というのは、
になります。
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